Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+1+bx+1

ax+bx

，a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當a≠b時，利用（1）中的結(jié)論，證明不等式：

2

1 a + 1 b

＜

ab

＜

a+b

2

＜

a2+b2

a+b

．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）分子分母同時除以b^x，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)和分式函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當a≠b時，利用（1）中的結(jié)論，將不等式中的式子轉(zhuǎn)化為對應的函數(shù)值，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明不等式：

2

1 a + 1 b

＜

ab

＜

a+b

2

＜

a2+b2

a+b

．

解答： 解：（1）f（x）=

ax+1+bx+1

ax+bx

=

a?( a b )x+b

( a b )x+1

=

a?[( a b )x+1]+b-a

( a b )x+1

=a+

b-a

( a b )x+1

，
若a=b，則f（x）=a，此時函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，不單調(diào)．
若a＞b，則b-a＜0，

a

b

＞1，
則y=(

a

b

)x+1為增函數(shù)，
∴根據(jù) 符合函數(shù)單調(diào)性之間的關系可知f（x）為增函數(shù)．
若a＜b，則b-a＞0，0＜

a

b

＜1，
則y=(

a

b

)x+1為減函數(shù)，
∴根據(jù) 符合函數(shù)單調(diào)性之間的關系可知f（x）為增函數(shù)．
綜上當a≠b時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增．
（2）∵f（x）=

ax+1+bx+1

ax+bx

，
∴f（0）=

a+b

2

，f（1）=

a2+b2

a+b

，f（-1）=

2

1 a + 1 b

，f（-

1

2

）=

ab

，
∵當a≠b時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增．且-1＜-

1

2

＜0＜1，
∴f（-1）＜f（-

1

2

）＜f（0）＜f（1），
即

2

1 a + 1 b

＜

ab

＜

a+b

2

＜

a2+b2

a+b

成立．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應用，要求熟練掌握符合函數(shù)單調(diào)性之間的關系，將不等式中的式子轉(zhuǎn)化為對應的函數(shù)值是解決本題的關鍵．