Question

19．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ，則a_n=（n+1）2^n-1．

Answer 1

分析 由a_n+1=2a_n+2ⁿ，變形為$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+2ⁿ，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$時等差數(shù)列，首項為1，公差為$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1），
∴a_n=（n+1）2^n-1．
故答案為：（n+1）2^n-1．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．