Question

5．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，5]，部分對應(yīng)值如下表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．下列關(guān)于f（x）的命題：
①函數(shù)f（x） 在x=0，4處取到極大值；
②函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)；
③如果當(dāng)x∈[-1，t]時(shí)，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）-a不可能有3個(gè)零點(diǎn)．
其中所有真命題的序號是（　�。�

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由極值點(diǎn)的定義即可判斷①；由導(dǎo)數(shù)的符號，即可判斷單調(diào)區(qū)間，判斷②；
由極大值可能為最大值，即可判斷③；由轉(zhuǎn)化思想可得f（x）=a的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，討論兩個(gè)極大值中較小為a，另一個(gè)大于a，即可判斷④．

解答 解：①觀察導(dǎo)數(shù)的圖象可得f′（x）在x=0，x=4處左正右負(fù)，取得極大值，故①正確；
②函數(shù)f（x）在（0，2）的導(dǎo)數(shù)為負(fù)的，則f（x）在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)，故②正確；
③如果當(dāng)x∈[-1，t]時(shí)，f（x）的最大值是2，可能是f（0）=2或f（4）=2，那么t的最大值為5，
故③錯(cuò)誤；
④當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）-a，由f（x）=a的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
當(dāng)f（x）的一個(gè)極大值為a，另一個(gè)極大值大于a時(shí)，可得它們有三個(gè)交點(diǎn)，即三個(gè)零點(diǎn)．
故④錯(cuò)誤．
綜上可得，①②正確．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值和最值，以及單調(diào)區(qū)間，注意通過圖象觀察，以及轉(zhuǎn)化和判斷能力，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．