設(shè)橢圓T：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），直線l過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1且不與x軸重合，l與橢圓交于P、Q，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，|PQ|=
4
3
，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，M為橢圓T上任意一點(diǎn)，若△F1MF2面積的最大值為
2
．
（1）求橢圓T的方程；
（2）直線l繞著F1旋轉(zhuǎn)，與圓O：x2+y2=5交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|∈（4，
19
）），求△F2PQ的面積S的取值范圍．
分析：（1）由題意可將x=-c代入橢圓方程可得，
c2
a2
+
y2
b2
=1結(jié)合c=
a2-b2
可得y=±
b2
a
，從而可求|PQ|，再由△F1MF2面積的最大值為
2
可得
1
2
b• 2c=
2
，由方程可求a，b進(jìn)而可求橢圓方程
（2）設(shè)直線L：x=my-1，可求圓心O到直線L的距離d，由圓的性質(zhì)可知AB=2
r2-d2
=2
5-
1
1+m2

由AB∈[4， 
19
 ]，可求m的范圍，聯(lián)立方程組
x=my-1
x2
3
+
y2
2
=1
消去x，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，y1+y2=
4m
3+2m2
，y1y2=
-4
2m2+3
，代入S=
1
2
|F1F2||y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
，代入整理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求S的范圍
解答：解：（1）由題意可將x=-c代入橢圓方程可得，
c2
a2
+
y2
b2
=1
∵c=
a2-b2

∴
a2-b2
a2
+
y2
b2
=1即y=±
b2
a

∴|PQ|=
2b2
a
=
4
3
①
由已知可得
1
2
b• 2c=
2
②
①②聯(lián)立可得a2=3，b2=2
∴橢圓的方程為
x2
3
+
y2
2
=1
（2）設(shè)直線L：x=my-1即x-my+1=0，圓心O到直線L的距離d=
1
1+m2

由圓的性質(zhì)可知AB=2
r2-d2
=2
5-
1
1+m2

又AB∈[4， 
19
 ]，則4≤2
5-
1
1+m2
≤
19

∴m2≤3
聯(lián)立方程組
x=my-1
x2
3
+
y2
2
=1
消去x可得（2m2+3）y2-4my-4=0
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1+y2=
4m
3+2m2
，y1y2=
-4
2m2+3

S=
1
2
|F1F2||y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
(
4m
3+2m2
)2+
16
3+2m2


=
48(1+m2)
(2m2+3)2
=
48
4t+
1
t
+4
（令t=m2+1∈[1，4]）
設(shè)f（t）=4t+
1
t
（t∈[1，4]）
則f′(t)=4-
1
t2
＞0對(duì)一切t∈[1，4]恒成立
∴f（t）=4t+
1
t
在[1，4]上單調(diào)遞增，4t+
1
t
∈[5，
65
4
]
∴S∈[
8
3
9
，
4
3
3
]
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，點(diǎn)到直線的距離公式，圓的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓錐曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用，還要具備一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓T：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，直線l過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1且不與x軸重合，l橢圓交于P、Q，左準(zhǔn)線與x軸交于K，|KF1|=2．當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，|PQ|=
4
3
．
（1）求橢圓T的方程；
（2）直線l繞著F1旋轉(zhuǎn)，與圓O：x2+y2=5交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|∈[4，
19
]，求△F2PQ的面積S的取值范圍（F2為橢圓的右焦點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•閔行區(qū)三模）已知橢圓T：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)依次為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，
MF1
•
MF2
=0．
（1）求橢圓T的方程；
（2）設(shè)G是點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)F2的對(duì)稱點(diǎn)，在橢圓T上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使
PQ
=
PF1
+
PG
，若存在，求出這兩點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2的直線交橢圓T于R、S兩點(diǎn)，線段RS的垂直平分線與y軸相交于一點(diǎn)T（0，y0），求y0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•崇明縣二模）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-
2
），且其右焦點(diǎn)到直線y-x-2
2
=0的距離為3．
（1）求橢圓C的軌跡方程；
（2）若A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)M，則稱弦AB是點(diǎn)M的一條“相關(guān)弦”，如果點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（
1
2
，0），求證：點(diǎn)M的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)在同一條直線上；
（3）對(duì)于問(wèn)題（2），如果點(diǎn)M坐標(biāo)為M（t，0），當(dāng)t滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)M（t，0）存在無(wú)窮多條“相關(guān)弦”，并判斷點(diǎn)M的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)是否在同一條直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓T：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），直線l過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1且不與x軸重合，l與橢圓交于P、Q，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，|PQ|=
4
3
，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，M為橢圓T上任意一點(diǎn)，若△F1MF2面積的最大值為
2
．
（1）求橢圓T的方程；
（2）直線l繞著F1旋轉(zhuǎn)，與圓O：x2+y2=5交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|∈（4，
19
）），求△F2PQ的面積S的取值范圍．

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