Question

設(shè)橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，直線l過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F₁且不與x軸重合，l橢圓交于P、Q，左準(zhǔn)線與x軸交于K，|KF₁|=2．當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，|PQ|=

4

3

．
（1）求橢圓T的方程；
（2）直線l繞著F₁旋轉(zhuǎn)，與圓O：x²+y²=5交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|∈[4，

19

]，求△F₂PQ的面積S的取值范圍（F₂為橢圓的右焦點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（1）欲求橢圓方程，只要求出a，b即可，因?yàn)樽鬁?zhǔn)線與x軸交于K，|KF₁|=2，可得到一個(gè)含a，c的等式，又因?yàn)椋��?dāng)l與x軸垂直時(shí)|PQ|=

4

3

，可得一個(gè)含a，b的等式，再根據(jù)a，b，c之間的關(guān)系，就可求出a，b的值，橢圓方程可得．
（2）△F₂PQ的面積S=

1

2

|AB|d，可設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出|AB|，再用點(diǎn)到直線的距離公式，求出d，代入）△F₂PQ的面積S，最后用導(dǎo)數(shù)求范圍即可．

解答：解（1）設(shè)橢圓半焦距為c，|KF1|=

a2

c

-c=

b2

c

=2 
，將x=-c 代入橢圓方程得y=±

b2

a

，
∴

2b2

a

=

4

3

∴

b2

a

=

2

3

 

所以e=

c

a

=

1

3

，e2=

a2-b2

a2

=

1

3

，
∴b2=

2

3

a2 
a²=3，b²=2 所求橢圓方程為：

x2

3

+

y2

2

=1 

（3）設(shè)直線l：x=my-1 即x-my+1=0，圓心O 到l 的距離d=

1

1+m2

 
由圓性質(zhì)：|AB|=2

r2-d2

=2

5- 1 1+m2

，
又|AB|∈[4，

19

]，得m²∈[0，3]
聯(lián)立方程組

x=my-1 x2 3 + y2 2 =1

，消去x 得（2m²+3）y²-4my-4=0 
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂） 
則y1+y2=

4m

2m2+3

，y1y2=

-4

2m2+3

 
S=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16m2 (2m2+3)2 + 16 2m2+3

 
=

48(m2+1) (2m2+3)2

=

48 4t+ 1 t +4

（令t=m²+1∈[1，4]），
設(shè)f(t)=4t+

1

t

，t∈[1，4]，
f′（t）=4-

1

t2

=

4t2-1

t2

＞0，對(duì)t∈[1，4]恒成立，
f（t）=4t+

1

t

在[1，4]上為增函數(shù)，4t+

1

t

∈[5，

65

4

]，
所以，S∈[

8 3

9

，

4 3

3

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，以及弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．