Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分別為PC，PB的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD與平面ADMN所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解法1：∵N是PB的中點(diǎn)，PA=AB，∴AN⊥PB． ∵PA⊥平面ABCD，所以AD⊥PA．
又AD⊥AB，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，AD⊥PB．
又AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN．
∵DM平面ADMN，∴PB⊥DM
解法2：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，設(shè)BC=1，
可得，A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0）， ，D（0，2，0）．
因?yàn)? ，所以PB⊥DM．

（Ⅱ）解法1：取AD中點(diǎn)Q，連接BQ和NQ，則BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，∴CD與平面ADMN所成的角為∠BQN．
設(shè)BC=1，在Rt△BQN中，則 ， ，故 ．
所以CD與平面ADMN所成的角的正弦值為 ．
解法2：因?yàn)? ．
所以 PB⊥AD，又PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN，
因此 的余角即是CD與平面ADMN所成的角．
因?yàn)? ．
所以CD與平面ADMN所成的角的正弦值為
【解析】（Ⅰ）解法1 先由AD⊥PA．AD⊥AB，證出AD⊥平面PAB得出AD⊥PB．又N是PB的中點(diǎn)，PA=AB，得出AN⊥PB．證出PB⊥平面ADMN后，即可證出PB⊥DM． 解法2：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，設(shè)BC=1，通過證明 證出PB⊥DM （Ⅱ）解法1：取AD中點(diǎn)Q，連接BQ和NQ，則BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，所以CD與平面ADMN所成的角為∠BQN．在Rt△BQN中求解即可． 解法2，通過 PB⊥平面ADMN，可知 是平面ADMN 的一個(gè)法向量， 的余角即是CD與平面ADMN所成的角．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．