【題目】已知函數(shù)yf1x),yf2x),定義函數(shù)fx

1)設(shè)函數(shù)f1x)=x+3f2x)=x2x,求函數(shù)yfx)的解析式;

2)在(1)的條件下,gx)=mx+2mR),函數(shù)hx)=fx)﹣gx)有三個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

3)設(shè)函數(shù)f1x)=x22,f2x)=|xa|,函數(shù)Fx)=f1x+f2x),求函數(shù)Fx)的最小值.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)根據(jù)函數(shù)fx的定義,兩個(gè)函數(shù)中取小的.

2)函數(shù)hx)=fx)﹣gx)有三個(gè)不同的零點(diǎn),即方程fx)=gx)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,因?yàn)楹瘮?shù) 是分段函數(shù),分類討論,分別用一次方程和二次方程求解.

3)根據(jù)題意Fx.按照二次函數(shù)函數(shù)定區(qū)間動(dòng)的類型,討論對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)值間的關(guān)系求最值.

1)∵f1x)=x+3,

當(dāng)f1xf2x),即x≥3x1時(shí),fx)=x+3,

當(dāng)f1x)>f2x),即﹣1x3時(shí),,

綜上:

2)函數(shù)hx)=fx)﹣gx)有三個(gè)不同的零點(diǎn),

即方程fx)=gx)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

因?yàn)楹瘮?shù),函數(shù)gx)=mx+2mR),

所以當(dāng)x1x≥3時(shí),mx+2x+3恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解,

所以,

解得,

當(dāng)﹣1x3時(shí),mx+2x2x恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,

即當(dāng)﹣1x3時(shí)x2﹣(m+1x2=0恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,

設(shè)函數(shù)hx)=x2﹣(m+1x2

由題意可得,

所以,

解得,

綜上,m的取值范圍為

3Fx)=f1x+f2x)=x2+|xa|2

①若a,則函數(shù)Fx)在上是單調(diào)減函數(shù),在上是單調(diào)增函數(shù),

此時(shí),函數(shù)Fx)的最小值為;

②若,則函數(shù)Fx)在(﹣,a)上是單調(diào)減函數(shù),在(a,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),

此時(shí),函數(shù)Fx)的最小值為Fa)=a22;

③若,則函數(shù)Fx)在上是單調(diào)減函數(shù),在上是單調(diào)增函數(shù),

此時(shí),函數(shù)Fx)的最小值為;

綜上:

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,試證明:當(dāng)時(shí),;

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A. B.

C. D.

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