【題目】已知橢圓：的焦距為，點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓方程；

（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率之和為0.

①求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

②求面積的最大值.

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②1

【解析】

(1)由條件有，將點(diǎn)代入橢圓方程結(jié)合，可求解橢圓方程.
(2) ①設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線，，的斜率分別為，由條件有，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，將，代入化簡可得，得到直線過定點(diǎn).
②由①利用弦長公式可求出，再求出原點(diǎn)到直線的距離，則的面積可表示出來，從而可求其最大值.

解：（1）由題意可得，又由點(diǎn)在橢圓上，故得，

∵，解得，.

∴橢圓的方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)，.

聯(lián)立得，

∴，

化簡得①，②，③

設(shè)直線，，的斜率分別為

直線，，的斜率之和為0，∴，

即

，

∴，又，∴.

綜上可得，直線經(jīng)過定點(diǎn).

②由①知.

∴，

原點(diǎn)到直線的距離.

∴，

∵，

當(dāng)且僅當(dāng)，即取“”.

∴，即面積的最大值為1.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，.

（1）求證：平面；

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【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一，他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)，并作為計(jì)算圓的周長，面積已經(jīng)圓周率的基礎(chǔ)，劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數(shù)值，這個結(jié)果是當(dāng)時世界上圓周率計(jì)算的最精確數(shù)據(jù).如圖，當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時，某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn)，計(jì)算得出該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269，那么通過該實(shí)驗(yàn)計(jì)算出來的圓周率近似值為（參考數(shù)據(jù)：）

A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413

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【題目】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分

沙漏是古代的一種計(jì)時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時。如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細(xì)沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長度忽略不計(jì)）．

（1）如果該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，則該沙漏的一個沙時為多少秒（精確到1秒）？

（2）細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成個一蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，求此錐形沙堆的高度（精確到0.1cm）．

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【題目】某集團(tuán)公司為了加強(qiáng)企業(yè)管理，樹立企業(yè)形象，考慮在公司內(nèi)部對遲到現(xiàn)象進(jìn)行處罰.現(xiàn)在員工中隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處罰時，有80人會遲到，處罰時，得到如下數(shù)據(jù)：

處罰金額（單位：元）

50

100

150

200

遲到的人數(shù)

50

40

20

0

若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.

（Ⅰ）當(dāng)處罰金定為100元時，員工遲到的概率會比不進(jìn)行處罰時降低多少？

（Ⅱ）將選取的200人中會遲到的員工分為，兩類：類員工在罰金不超過100元時就會改正行為；類是其他員工.現(xiàn)對類與類員工按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷，則前兩位均為類員工的概率是多少？

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【題目】如圖：四棱錐P-ABCD底面為一直角梯形，AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,PA⊥平面ABCD,F是PC中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD;

（Ⅱ）求證：BF∥平面PAD。

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（3）求二面角的余弦值.

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（1）求橢圓及圓的方程；

（2）設(shè)直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn).

①若直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程.

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（2）若過點(diǎn)的直線交的軌跡方程于不同兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值.

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