Question

【題目】某省年開始將全面實(shí)施新高考方案．在門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計(jì)分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、和，并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分．該省組織了一次高一年級(jí)統(tǒng)一考試，并對(duì)思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目的原始分進(jìn)行了等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分．

（1）某校生物學(xué)科獲得等級(jí)的共有10名學(xué)生，其原始分及轉(zhuǎn)換分如下表：

原始分	91	90	89	88	87	85	83	82
轉(zhuǎn)換分	100	99	97	95	94	91	88	86
人數(shù)	1	1	2	1	2	1	1	1

現(xiàn)從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中生物轉(zhuǎn)換分不低于分的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）假設(shè)該省此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分服從正態(tài)分布．若，令，則，請(qǐng)解決下列問題：

①若以此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分等級(jí)的最低分為實(shí)施分層教學(xué)的劃線分，試估計(jì)該劃線分大約為多少分？（結(jié)果保留為整數(shù)）

②現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名高一學(xué)生的此次生物學(xué)科的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求取得最大值時(shí)的值．

附：若，則，．

Answer 1

【答案】（1）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為；（2）①69分；②．

【解析】

（1）寫出隨機(jī)變量的所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布求出的每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望；

（2）①設(shè)該劃線分為，由求出.由，得.由題意，又，故，故，即可求出；②由題意，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算公式，求出，代入不等式組，即求的值.

（1）隨機(jī)變量的所有可能的取值為.

由題意可得：，，

，，

隨機(jī)變量的分布列為

數(shù)學(xué)期望．

（2）①設(shè)該劃線分為，由得，

令，則，

由題意，，即，

，，，

，，取．

②由①討論及參考數(shù)據(jù)得

，

即每個(gè)學(xué)生生物統(tǒng)考成績不低于分的事件概率約為，

，．

由

即

解得，

，，

當(dāng)時(shí)，取得最大值．