Question

14．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}，滿足a_k+1=a_k+b_k，k∈N^*，若存在正整數(shù)n，使得a_n=a₁成立，則稱數(shù)列{a_n}為“n階還原數(shù)列”，給出下列條件：
（1）|b_k|=1，（2）|b_k|=k，（3）|b_k|=2^k．
則可能使數(shù)列{a_n}為“8階還原數(shù)列”的是（　�。�

• A． （1）
• B． （1）（2）
• C． （2）（3）
• D． （2）

Answer 1

分析 由a_k+1=a_k+b_k，得a_k+1-a_k=b_k，然后對三個b_k逐一驗證可得只有|b_k|=k時有可能得到a₈=a₁成立，則答案可得．

解答 解：由a_k+1=a_k+b_k，得a_k+1-a_k=b_k，
則a₂-a₁=b₁，a₃-a₂=b₂，a₄-a₃=b₃，a₅-a₄=b₄，a₆-a₅=b₅，a₇-a₆=b₆，a₈-a₇=b₇，
累加得：a₈-a₁=b₁+b₂+…+b₇．
若|b_k|=1，即b_k=±1，則b₁+b₂+…+b₇≠0，
∴a₈≠a₁；
若|b_k|=k，即b_k=±k，
則b₁+b₂+…+b₇=1-2+3+4-5+6-7=0，
∴a₈=a₁成立，即|b_k|=k時可能使數(shù)列{a_n}為8階“還原”數(shù)列；
若|b_k|=2^k，即b_k=±2^k．
∵2¹+2²+…+2⁶＜2⁷，
∴b₁+b₂+…+b₇≠0，
即|b_k|=2^k時，不可能使數(shù)列{a_n}為8階“還原”數(shù)列．
故答案為：D

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了累加法，關鍵是對題意的理解，是中檔題．