Question

16．已知雙曲線的漸近線方程為$y=±\sqrt{3}x$，一個焦點為$（0，-2\sqrt{2}）$，則雙曲線的標準方程是$\frac{{y}^{2}}{6}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．

Answer 1

分析 根據題意，根據雙曲線焦點的坐標可以設其標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，且有a²+b²=c²=8，①，利用標準方程表示出其漸近線方程為：y=±$\frac{a}$x，結合題意可得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，②
聯(lián)立兩式，解可得a²、b²的值，將其代入雙曲線的標準方程即可得答案．

解答 解：根據題意，要求雙曲線的一個焦點為$（0，-2\sqrt{2}）$，在y軸上，
可以設其標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，且有a²+b²=c²=8，①
其漸近線方程為：y=±$\frac{a}$x，
又由該雙曲線的漸近線方程為$y=±\sqrt{3}x$，則有$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，②
聯(lián)立①、②可得：a²=6，b²=2，
則要求雙曲線的方程為：$\frac{{y}^{2}}{6}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1；
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{6}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，涉及雙曲線的焦點、漸近線的求法，需要由焦點的位置先設出雙曲線的方程．