已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=t＞0，數(shù)學(xué)公式，n=1，2，…
（1）若數(shù)學(xué)公式，求證數(shù)學(xué)公式是等比數(shù)列并求出{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若an+1＞an對(duì)一切n∈N*都成立，求t的取值范圍．

（1）證明：由題意知an＞0，
∵，∴，∴，
∴，
∵（4分）
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（5分）
∴，∴（8分）
（2）解：由（1）知，
∴（10分）
由知an＞0，故an+1＞an得（11分）
即
∴，又t＞0，則0＜t＜1（14分）
分析：（1）根據(jù)條件取倒數(shù)，再作變形，即可證得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）由知an＞0，故an+1＞an得，根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得不等式，從而可求t的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列的遞推式為載體，考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式知識(shí)，解題的關(guān)鍵是取倒數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
1
2
，前n項(xiàng)和Sn=n2an（n≥1）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b1=0，bn=
Sn-1
Sn
(n≥2)，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：Tn＜
n2
n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2，前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N*，當(dāng)n≥2，時(shí)，an總是3Sn-4與2-
52
Sn-1的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=（n+1）an，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，n∈N*，求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•江門一模）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，若?n∈N*，an•an+1=-2，則an=
1，n是正奇數(shù)
-2，n是正偶數(shù)
1，n是正奇數(shù)
-2，n是正偶數(shù)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=3，通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和sn之間滿足2an=Sn•Sn-1（n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{
1Sn
}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
2
3
，an+1=
2an
an+1
，n∈N+
（Ⅰ）設(shè)bn=
1
an
-1證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列{
n
bn
}的前n項(xiàng)和Sn．

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