Question

19．已知M，N分別為橢圓C的左右焦點，P為橢圓C上的點，若橢圓C存在4個點滿足條件∠MPN=60°，那么橢圓的離心率取值范圍（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 當(dāng)動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P對兩個焦點的張角∠MPN漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點位于短軸端點P₀處時，張角∠MPN達(dá)到最大值，由此可得結(jié)論．

解答 解：如圖，當(dāng)動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時
P對兩個焦點的張角∠MPN漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點位于短軸端點P₀處時，張角∠MPN達(dá)到最大值．
∵橢圓C存在4個點滿足條件∠MPN=60°，
∴△P₀MN中，∠MP₀N＞60°，
∴Rt△P₀ON中，∠OP₀N＞30°，
∴P₀O＜$\sqrt{3}$ON，即b＜$\sqrt{3}$c，
∴a²-c²＜3c²，可得a²＜4c²，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{1}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴$\frac{1}{2}$e＜1．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題考查了直角三角形的三角函數(shù)和橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識點，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．