Question

1．已知f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N^*），b，c∈R．
（1）設n=2時，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₁（x₂）|≤4，求b的取值范圍；
（2）當b=1時，c=-1，n≥2時，f_n（x）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)存在唯一零點且單調(diào)遞增，設x_n是f_n（x）在（$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)的零點，判斷數(shù)列x₂，x₃，…，x_n，…的增減性．

Answer 1

分析 （1）當n=2時，f₂（x）=x²+bx+c．對任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，等價于f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4．由此利用分類討論思想能求出b的取值范圍．
（2）任取x₁，x₂∈（$\frac{1}{2}$，1），且x₁＜x₂，則f_n（x₁）-f_n（x₂）=（x₁ⁿ-x₂ⁿ）+（x₁-x₂）＜0，從而f_n（x）在（$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)單調(diào)遞增，由此得到數(shù)列x₂，x₃，…，x_n，…是增數(shù)列．

解答 解：（1）當n=2時，f₂（x）=x²+bx+c．
對任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
等價于f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4．
據(jù)此分類討論如下：
①當|$\frac{2}$|＞1，即|b|＞2時，M=|f₂（1）-f₂（-1）|=2|b|＞4，與題設矛盾．
②當-1≤-$\frac{2}$＜0，即0＜b≤2時，M=f₂（1）-f₂（-$\frac{2}$）=（$\frac{2}$+1）²≤4恒成立．
③當0≤-$\frac{2}$≤1，即-2≤b≤0時，M=f₂（-1）-f₂（-$\frac{2}$）=（$\frac{2}$-1）²≤4恒成立．
綜上可知，-2≤b≤2．
（2）因為 f_n（$\frac{1}{2}$）＜0，f_n（1）＞0．
所以f_n（$\frac{1}{2}$）•f_n（1）＜0．
所以f_n（x）在（$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)存在零點．
任取x₁，x₂∈（$\frac{1}{2}$，1），且x₁＜x₂，
則f_n（x₁）-f_n（x₂）=（x₁ⁿ-x₂ⁿ）+（x₁-x₂）＜0，
所以f_n（x）在（$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
所以f_n（x）在（$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)存在唯一零點．
因為x_n是f_n（x）在（$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)的零點，
所以數(shù)列x₂，x₃，…，x_n，…是增數(shù)列．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查數(shù)列的單調(diào)性質的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．