Question

（本題滿分14分）如圖, 在直三棱柱中，，,
，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

⑴求證：；
⑵求證：平面；
⑶求二面角的正切值．

Answer 1

⑴見(jiàn)解析；⑵見(jiàn)解析；⑶

本試題主要考查了立體幾何中的線線垂直的證明，以及線面平行的判定和二面角的平面角的求解的綜合運(yùn)用。
（1）由于已知中三棱柱的性質(zhì)和三角形可知，得到結(jié)論。
（2）利用線線平行來(lái)判定得到線面平行的證明。
（3）由于二面角的平面角可以建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量來(lái)表示夾角得到二面角 平面角的求解。
證明：⑴、在直三棱柱，
∵底面三邊長(zhǎng)，，，∴ ，………1分
又直三棱柱中，，且,
，∴．……………3分
而，∴；…………………………4分
⑵、設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，…5分
∵ 是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴ ，………7分
∵ ，，∴.…8分
⑶、過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，連接C₁F.…………9分
由已知C₁C垂直平面ABC，
則∠C₁FC為二面角的平面角�！�……11分
在Rt△ABC中，，,,則…………12分
又,∴ ，……………13分
∴二面角的正切值為．…………………………14分
（另：可以建立空間直角坐標(biāo)系用向量方法完成，酌情給分，過(guò)程略）