橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1兩漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1，又設(shè)l與l2交于點P，l與C兩交點自上而下依次為A、B；
（1）當(dāng)l1與l2夾角為
π
3
，雙曲線焦距為4時，求橢圓C的方程及其離心率；
（2）若
FA
=λ
AP
，求λ的最小值．
（1）由l1與l2夾角為
π
3
知，
b
a
=tan
π
6
=
3
3
…（1分）
又焦距為4∴a=
3
，b=1
∴橢圓C：
x2
3
+y2=1，
e=
2
3
=
6
3
．…（3分）
（2）不妨設(shè)l1：y=
b
a
x，l2：y=-
b
a
x則l：y=-
a
b
(x-c)
聯(lián)立：
y=-
a
b
(x-c)
y=-
a
b
x
⇒P（
a2
c
，-
ab
c
）
由
FA
=λ
AP
得，
XA=
c+λ•
a2
c
1+λ
yA=
λ•(-
ab
c
)
1+λ

又點A橢圓上，∴
(c+
λa2
c
)2
(1+λ)2a2
+
(-
abλ
c
)2
(1+λ)2•b2
=1
整理得λ2=
(a2-c2)c2
a2(2a2-c2)
…（7分）
∴λ2=
e2-e4
2-e2
=
(e2-2)2+3(e2-2)+2
e2-2
=（e2-2）+
2
e2-2
+3
∵0＜e＜1∴-2＜e2-2＜-1
∴-3＜（e2-2）+
2
e2-2
≤-2
2

∴0＜λ2≤3-2
2
．
由題知，λ＜0∴1-
2
≤λ＜0…（9分）
所以，λ的最小值為1-
2
．…（10分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線頂點在原點，圓x2+y2=4x的圓心是拋物線的焦點，直線l過拋物線的焦點，且斜率為2，直線l交拋物線與圓依次為A、B、C、D四點．

（1）求拋物線的方程．
（2）求|AB|+|CD|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

雙曲線E的漸近線方程為y=±
4
3
x，且經(jīng)過點(2
3
，
4
3
3
)
（1）求雙曲線E的方程；
（2）F1，F(xiàn)2為雙曲線E的兩個焦點，P為雙曲線上一點，若|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點，A，B為兩個頂點，已知橢圓C上的點到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和為4且b=
3
．
（1）求橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過橢圓C的焦點F2作AB的平行線交橢圓于P，Q兩點，求△F1PQ的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，且橢圓Γ的右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）過左焦點F的直線l與橢圓交于A，B兩點，是否存在直線l，使得OA⊥OB，O為坐標原點，若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓方程為x2+
y2
4
=1，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，點N的坐標為(
1
2
，
1
2
)，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：
（1）動點P的軌跡方程；
（2）|
NP
|的最小值與最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，長軸端點與短軸端點間的距離為
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點D（0，4）的直線l與橢圓C交于兩點E，F(xiàn)，O為坐標原點，若OE⊥OF，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于A，B兩點．
（1）求證：直線l與雙曲線C只有一個公共點；
（2）設(shè)直線l與雙曲線C的公共點為M，且
AM
=λ
AB
，證明：λ+e2=1；
（3）設(shè)P是點F1關(guān)于直線l的對稱點，當(dāng)△PF1F2為等腰三角形時，求e的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，|AB|=
4
2
3
，|CD|=2-
4
2
3
，AC⊥BD．M為CD的中點．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)λ0，使
MP
=λ0
PN
，且P點到A、B的距離和為定值，求點P的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過（0，
1
2
）的直線與軌跡E交于P、Q兩點，求△OPQ面積的最大值．

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