設a∈R，f(x)=
a•2x+a-2
2x+1
(x∈R)是奇函數(shù)；
（1）求常數(shù)a的值
（2）實數(shù)k＞0，解關于x的不等式：f-1(x)＞log2
1+x
k
．
分析：（1）由f(x)=
a•2x+a-2
2x+1
(x∈R)是奇函數(shù)，利用f（0）=0能求出a．
（2）由f（x）=
2x-1
2x+1
，設y=
2x-1
2x+1
，求出f-1(x)=log2
1+x
1-x
，-1＜x＜1．由f-1(x)＞log2
1+x
k
，知log2
1+x
1-x
＞log2
1+x
k
，然后利用穿根法求不等式f-1(x)＞log2
1+x
k
的解集．
解答：解：（1）∵a∈R，f(x)=
a•2x+a-2
2x+1
(x∈R)是奇函數(shù)，
∴f（0）=
20•a+a-2
20+1
=
2a-2
2
=0，
∴a=1．
（2）由（1）知，f（x）=
2x-1
2x+1
，
設y=
2x-1
2x+1
，則y•2x+y=2x-1，
∴（1-y）•2x=1+y，
2x=
1+y
1-y
，
∴x=log2
1+y
1-y
，
x，y互換，得f-1(x)=log2
1+x
1-x
，-1＜x＜1．
由f-1(x)＞log2
1+x
k
，得log2
1+x
1-x
＞log2
1+x
k
，
∴
1+x
1-x
＞
1+x
k
，
整理，得
x(x+1)
k(x-1)
＜0，
∵k＞0，，-1＜x＜1．
∴借助數(shù)軸和反函數(shù)的定義域，知不等式f-1(x)＞log2
1+x
k
的解集為{x|0＜x＜1}．
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的性質和不等式的綜合運用，綜合性強，難度大，易錯點是求不等式解集時容易忽視反函數(shù)的定義域．解題時要認真審題，注意奇函數(shù)性質的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a∈R，f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(
π
2
-x)滿足f(-
π
3
)=f(0)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞減區(qū)間；
（2）若x∈[
π
4
，
17π
24
]，求f（x）的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a∈R，f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(
π
2
-x)滿足f(-
π
3
)=f（0），
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[
π
4
，
11π
24
]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•江西模擬）設a∈R，f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(
π
2
-x)滿足f(-
π
3
)=f(0)，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設△ABC三內角A，B，C所對邊分別為a，b，c且
a2+c2-b2
a2+b2-c2
=
c
2a-c
，求f（x）在（0，B]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a∈R,函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.

 

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