Question

一個(gè)袋子內(nèi)裝有若干個(gè)黑球，3個(gè)白球，2個(gè)紅球（所有的球除顏色外其它均相同），從中一次性任取2個(gè)球，每取得一個(gè)黑球得0分，每取一個(gè)白球得1分，每取一個(gè)紅球得2分，用隨機(jī)變量ξ表示取2個(gè)球的總得分，已知得0分的概率為

1

6

．
（Ⅰ）求袋子內(nèi)黑球的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）求ξ的分布列與期望．

Answer 1

分析：（I）由題意設(shè)袋中黑球的個(gè)數(shù)為n個(gè)，由于p(ξ=0)=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

，化簡(jiǎn)即可得到n的方程求解即可；
（II）由題意由于隨機(jī)變量ξ表示取2個(gè)球的總得分，根據(jù)題意可以得到ξ=0，1，2，3，4，利用隨機(jī)變量的定義及等可能事件的概率公式求出每一個(gè)值下的概率，并列出其分布列，有期望的定義即可求解．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)袋中黑球的個(gè)數(shù)為n個(gè)，p(ξ=0)=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

，化簡(jiǎn)得：n²-3n-4=0，解得n=4 或n=-1 （舍去），即袋子中有4個(gè)黑球
（Ⅱ）依題意：ξ=0，1，2，3，4 p(ξ=0)=

1

6

，p(ξ=1)=

C 1 4 • C 1 3

C 2 9

=

1

3

，p(ξ=2)=

C 2 3 + C 1 2 • C 1 4

C 2 9

=

11

36

，p(ξ=3)=

C 1 3 • C 1 2

C 2 9

=

1

6

，p(ξ=4)=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

ξ	0	1	2	3	4
P	1 6	1 3	11 36	1 6	1 36

∴ξ 的期望為 Eξ=0×

1

6

+1×

1

3

+2×

11

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

14

9

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生讓那個(gè)對(duì)于題意的正確理解的能力，還考查了等可能事件的概率公式及離散型隨機(jī)變量的定義與分布列，并應(yīng)用分布列求出隨機(jī)變量的期望．