Question

18．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=3，且滿足a_n+1=3a_n+2×3ⁿ⁺¹，（n∈N^*）．
（1）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，判斷數(shù)列{b_n}是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根數(shù)列的遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法，構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明{b_n}是等差數(shù)列．
（2）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用求和公式，結(jié)合錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=3a_n+2×3ⁿ⁺¹，（n∈N^*）．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{3{a}_{n}}{{3}^{n+1}}$+$\frac{2×{3}^{n+1}}{{3}^{n+1}}$，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$+2，…（5分）
∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，
∴b_n+1-b_n=2，∴{b_n}構(gòu)成以b₁=$\frac{{a}_{1}}{3}$=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．（6分）
（2）由（1）可知b_n=1+2（n-1）=2n-1，所以a_n=（2n-1）•3ⁿ…（8分）
S_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ               ①
3S_n=1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹                 ②
②-①得-2S_n=3+2•3²+2•3³+…+2•3ⁿ-（2n-1）•3ⁿ⁺¹          …（10分）
=3+2•$\frac{{3}^{2}（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹  
=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6…（13分）
∴S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的計(jì)算，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力．