Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）+1（-π＜φ＜0）過點$（\frac{π}{8}，0）$．
（1）求函數(shù)y=f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$的值域；
（2）令$g（x）=f（x+\frac{π}{8}）$，畫出函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）將點代入，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出φ的值，并根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$的值域，
（2）根據(jù)函數(shù)的平移可得g（x）的解析式，描點畫圖即可．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+φ）+1（-π＜φ＜0）過點$（\frac{π}{8}，0）$
∴$sin（2×\frac{π}{8}+φ）+1=0$，
∴$sin（\frac{π}{4}+φ）=-1$，
∴$\frac{π}{4}+φ=-\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$
∵-π＜φ＜0，
∴$φ=-\frac{3π}{4}$，
∴$f（x）=sin（2x-\frac{3π}{4}）+1$
∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{3π}{4}≤2x-\frac{3π}{4}≤\frac{π}{4}$，
∴$-1≤sin（2x-\frac{3π}{4}）≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴0≤sin（2x-$\frac{3π}{4}$）+1≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴$y=f（x），x∈[{0，\frac{π}{2}}]$的值域為$[{0，1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$
（2）$g（x）=f（x+\frac{π}{8}）$=sin[2（x+$\frac{π}{8}$）-$\frac{3π}{4}$]+1=sin（2x-$\frac{π}{2}$）+1=-cos2x+1，
y=g（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象如右圖

點評 本題考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．