Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），F(xiàn)₁、F₂分別是它的左、右焦點，A（-1，0）是其左頂點，且雙曲線的離心率為e=2．設(shè)過右焦點F₂的直線l與雙曲線C的右支交于P、Q兩點，其中點P位于第一象限內(nèi)．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線AP、AQ分別與直線x=

1

2

交于M、N兩點，求證：MF₂⊥NF₂；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得∠PF₂A=λ∠PAF₂恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題可知：a=1．由于e=

c

a

=2，可得c=2．再利用b²=c²-a²即可．
（2）設(shè)直線l的方程為：x=ty+2，另設(shè)：P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．聯(lián)立

3x2-y2=3 x=ty+2

，可得根與系數(shù)的關(guān)系．又直線AP的方程為y=

y1

x1+1

(x+1)，解得M(

1

2

，

3y1

2(x1+1)

)．同理解得N(

1

2

，

3y2

2(x2+1)

)．只要證明

MF2

•

NF2

=0即可．
（3）當(dāng)直線l的方程為x=2時，解得P（2，3）．易知此時△AF₂P為等腰直角三角形，可得：λ=2．
當(dāng)∠AF₂P=2∠PAF₂對直線l存在斜率的情形也成立．利用正切的倍角公式、斜率計算公式、雙曲線的方程、正切函數(shù)的單調(diào)性即可證明．

解答： （1）解：由題可知：a=1．
∵e=

c

a

=2，
∴c=2．
∴b²=c²-a²=3，
∴雙曲線C的方程為：x2-

y2

3

=1．
（2）證明：設(shè)直線l的方程為：x=ty+2，另設(shè)：P（x₁，y₁），
Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立

3x2-y2=3 x=ty+2

，化為（3t²-1）y²+12ty+9=0．
∴y1+y2=

-12t

3t2-1

，y1y2=

9

3t2-1

．
又直線AP的方程為y=

y1

x1+1

(x+1)，代入x=

1

2

，
解得M(

1

2

，

3y1

2(x1+1)

)．
同理，直線AQ的方程為y=

y2

x2+1

(x+1)，代入x=

1

2

，解得N(

1

2

，

3y2

2(x2+1)

)．
∴

MF2

=(

3

2

，-

3y1

2(x1+1)

)，

NF2

=(

3

2

，

-3y2

2(x2+1)

)．
∴

MF2

•

NF2

=

9

4

+

9y1y2

4(x1+1)(x2+1)

=

9

4

+

9y1y2

4(ty1+1)(ty2+1)

=

9

4

+

9y1y2

4[t2y1y2+t(y1+y2)+1]

=

9

4

+

9× 9 3t2-1

4(t2× 9 3t2-1 +3t× -12t 3t2-1 +9)

=

9

4

-

9

4

=0．
∴MF₂⊥NF₂．
（3）解：當(dāng)直線l的方程為x=2時，解得P（2，3）．易知此時△AF₂P為等腰直角三角形，
其中∠AF2P=

π

2

，∠PAF2=

π

4

，也即：λ=2．
下證：∠AF₂P=2∠PAF₂對直線l存在斜率的情形也成立．
tan2∠PAF₂=

2tan∠PAF2

1-tan2∠PAF2

=

2kPA

1- k 2 PA

=

2× y1 x1+1

1-( y1 x1+1 )2

=

2y1(x1+1)

(x1+1)2- y 2 1

．
∵

x

2 1

-

y 2 1

3

=1，∴

y

2 1

=3(

x

2 1

-1)．
∴tan2∠PAF2=

2y1(x1+1)

(x1+1)2-3(x1 2-1)

=

2y1(x1+1)

-2(x1+1)(x1-2)

=-

y1

x1-2

，
∴tan∠AF2P=-kPF2=-

y1

x1-2

=tan2∠PAF2，
∴結(jié)合正切函數(shù)在(0，

π

2

)∪(

π

2

，π)上的圖象可知，∠AF₂P=2∠PAF₂．

點評：本題綜合考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、正切的倍角公式、斜率計算公式、雙曲線的方程、正切函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．