Question

14．已知θ∈（0，$\frac{π}{4}$），且sinθ-cosθ=-$\frac{\sqrt{14}}{4}$，則$\frac{2co{s}^{2}θ-1}{sin（\frac{π}{4}-θ）}$等于$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由已知的等式記作①，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系列出關(guān)系式，記作②，再根據(jù)θ為銳角，聯(lián)立①②求出sinθ和cosθ的值，進(jìn)而利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式分別求出所求式子的分子與分母，代入即可求出所求式子的值．

解答 解：由sinθ-cosθ=-$\frac{\sqrt{14}}{4}$，①，
又sin²θ+cos²θ=1②，且θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
聯(lián)立①②解得：sinθ=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{14}}{8}$，cosθ=$\frac{\sqrt{14}+3\sqrt{2}}{8}$，
∴則$\frac{2co{s}^{2}θ-1}{sin（\frac{π}{4}-θ）}$═$\frac{co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}{\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ-sinθ）}$
=$\frac{\sqrt{2}（cosθ-sinθ）（cosθ+sinθ）}{cosθ-sinθ}$=$\sqrt{2}（cosθ+sinθ）$
=$\sqrt{2}×（\frac{\sqrt{14}+3\sqrt{2}}{8}+\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{14}}{8}）$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，是中檔題．