Question

【題目】若數(shù)列滿足：對(duì)于任意的正整數(shù)，，，且，則稱(chēng)該數(shù)列為“跳級(jí)數(shù)列”.

（1）若數(shù)列為“跳級(jí)數(shù)列”，且，求、的值；

（2）若數(shù)列為“跳級(jí)數(shù)列”，則對(duì)于任意一個(gè)大于的質(zhì)數(shù)，在數(shù)列中總有一項(xiàng)是的倍數(shù)；

（3）若為奇質(zhì)數(shù)，則存在一個(gè)“跳級(jí)數(shù)列”，使得數(shù)列中每一項(xiàng)都不是的倍數(shù).

Answer 1

【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題中定義求出的值，再由以及可求出的值，求出，，結(jié)合，以及可得出的值；

（2）根據(jù)“跳級(jí)數(shù)列”的定義得出為正整數(shù)，并記，可得出，并記，則存在使得，利用可得知、、、、、除以所得余數(shù)互不相同，由此可知、、、、、中必存在一項(xiàng)為的倍數(shù)；

（3）對(duì)于正整數(shù)，設(shè)為非負(fù)整數(shù)，且滿足，根據(jù)定義得出，然后取數(shù)列滿足條件.

（1）由“跳級(jí)數(shù)列”的定義可得，且以及，，

，，

由題意可得，且，因此，；

（2）數(shù)列為“跳級(jí)數(shù)列”，，為正整數(shù)，

記，

可知，且，記，

對(duì)于質(zhì)數(shù)，必存在，使得，反復(fù)應(yīng)用，

得，

另一方面，因?yàn)閷?duì)于滿足的任意，均有.

所以對(duì)于所有，都有（利用迭加）.

這表明，數(shù)列、、、、、是以為公差的等差數(shù)列.

假設(shè)對(duì)于整數(shù)對(duì)，均有是質(zhì)數(shù)的整數(shù)倍，

即必為的整數(shù)倍，，且同時(shí)成立，知這與為質(zhì)數(shù)矛盾.

由此可知，、、、、、除以所得余數(shù)互不相同.

（構(gòu)造一個(gè)的完全剩余系）所以必有一個(gè)是的倍數(shù)；

（3）對(duì)于正整數(shù)，設(shè)為非負(fù)整數(shù)，且滿足，

則，即.

根據(jù)定義有，由，且，

令，則，

則顯然為“跳級(jí)數(shù)列”，又為奇質(zhì)數(shù)，于是，不為的倍數(shù)，因此也不為的倍數(shù).