Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求的最大值.

Answer 1

【答案】（1） ； （2） .

【解析】

（1）f（x）=alnx﹣x+1，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合分類討論思想，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（2）g（x）=alnx﹣x+，g′（x）=，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當(dāng)x=e時(shí)，t（x）取得最大值，最大值為t（e）=．

（1），

當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，

則有，從而

當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)，有，則在上內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí)，與恒成立矛盾，因此不符合題意

綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.

( 2 )則

由已知，可得，即方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則，解得，其中

而g（x2）﹣g（x1）=alnx2﹣x2+﹣alnx1+x1﹣=aln+（x1﹣x2）+（﹣）

=（x2+）lnx22+﹣x2++x2

=2[（+x2）lnx2+﹣x2]，

由可得，又，所以

設(shè)，

，由，則，故

所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為