Question

【題目】某公司銷售甲、乙兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè)，甲產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與投資額（萬(wàn)元）成正比，其關(guān)系如圖所示；乙產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與投資額（萬(wàn)元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系式如圖所示．

（1）分別將甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資額的函數(shù)；

（2）若該公司投資萬(wàn)元資金，并全部用于甲、乙兩種產(chǎn)品的營(yíng)銷，問(wèn)：怎樣分配這萬(wàn)元投資，才能使公司獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

【答案】（1）甲產(chǎn)品的利潤(rùn)函數(shù)為；乙產(chǎn)品的利潤(rùn)函數(shù)為；（2）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）由題意設(shè)、，分別代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解；

（2）設(shè)乙產(chǎn)品的投資金額為萬(wàn)元，則甲產(chǎn)品的投資金額為萬(wàn)元，由題意列出總利潤(rùn)的函數(shù)，換元后利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分類討論即可得解.

（1）由題意設(shè)甲產(chǎn)品的利潤(rùn)函數(shù)為，乙產(chǎn)品的利潤(rùn)函數(shù)為．

由函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則即，所以；

函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則即，所以；

（2）設(shè)乙產(chǎn)品的投資金額為萬(wàn)元，則甲產(chǎn)品的投資金額為萬(wàn)元，

所獲得總利潤(rùn)為萬(wàn)元，

則，，

令，則，

，

該函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，

所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)即時(shí)，有最大值；

當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，

當(dāng)即時(shí)，有最大值．

綜上可知，當(dāng)時(shí)，乙產(chǎn)品投資萬(wàn)元，甲產(chǎn)品不作投資，該公司可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元；

當(dāng)時(shí)，乙產(chǎn)品投資萬(wàn)元，甲產(chǎn)品投資萬(wàn)元，該公司可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元．