Question

15．對于某個(gè)給定的函數(shù)f（x），稱方程f（x）=x的根為函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)，若二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有兩個(gè)不動點(diǎn)x₁，x₂，且${x_2}-{x_1}＞\frac{1}{a}$，當(dāng)t＜x₁時(shí)，f（t）與x₁的大小關(guān)系為（　�。�

• A． f（t）＞x₁
• B． f（t）≥x₁
• C． f（t）＜x₁
• D． f（t）≤x₁

Answer 1

分析 方程f（x）-x=0的兩個(gè)根x₁，x₂，所以構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)t＜x₁時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)推出x＞f （t），然后作差x₁-f（t），化簡分析出f（t）＞x₁，即可．

解答 解：令F（x）=f（x）-x．因?yàn)閤₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
當(dāng)t＜x₁時(shí)，由于x₁＜x₂，得（t-x₁）（t-x₂）＞0，又a＞0，得
F（t）=a（x-x₁）（x-x₂）＜0，
即x＞f（t）．
x₁-f（t）=x₁-[t+F（t）]
=x₁-t+a（x₁-t）（t-x₂）
=（x₁-t）[1+a（t-x₂）]，
因?yàn)閤₂-x₁＞$\frac{1}{a}$，所以x₁-t＞0，1+a（t-x₂）＜0．
得x₁-f（t）＜0．
由此得f（t）＞x₁．

點(diǎn)評 本小題主要考查一元二次方程、二次函數(shù)和不等式的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．