Question

8．若雙曲線$C：\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$的離心率為 2，則直線mx+ny-1=0的傾斜角為（　�。�

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的離心率公式分析可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{{m}^{2}}$=1+$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$=4，變形可得|$\frac{n}{m}$|=$\sqrt{3}$；對(duì)直線mx+ny-1=0分析可得其斜率k=-$\frac{m}{n}$，分析可得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由直線的斜率與傾斜角的關(guān)系即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若雙曲線$C：\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$的離心率為 2，
則有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{{m}^{2}}$=1+$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$=4，
即有$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$=3，即|$\frac{n}{m}$|=$\sqrt{3}$，
直線mx+ny-1=0的斜率k=-$\frac{m}{n}$，
又由|$\frac{n}{m}$|=$\sqrt{3}$，則k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
直線mx+ny-1=0的傾斜角為$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意m與n的值可以為負(fù)值．