Question

17．當α∈（0，$\frac{π}{2}$）時，求證：sinα＜α＜tanα．

Answer 1

分析 由條件構造函數(shù)，利用導數(shù)的符號證明函數(shù)的單調性，由函數(shù)的單調性比較函數(shù)的值的大小，從而得出結論．

解答 解：由0＜α＜$\frac{π}{2}$，可得sinα、α、tanα都是正實數(shù)．
設f（α）=α-sinα，求導得：f′（α）=1-cosα＞0，
因此，f（α）=α-sinα在α∈（0，$\frac{π}{2}$）上是個增函數(shù)，
則有f（α）=α-sinα＞f（0）=0，即sinα＜α．
同理，令g（α）=tanα-α，則g′（α）=$\frac{1}{co{s}^{2}α}$-1＞0，
所以，g（α）=tanα-α在α∈（0，$\frac{π}{2}$）上也是個增函數(shù)，
也有g（α）=tanα-α＞g（0）=0，即tanα＞α．
綜上，當α∈（0，$\frac{π}{2}$）時，sinα＜α＜tanα．

點評 本題主要考查利用導數(shù)的符號證明函數(shù)的單調性，利用函數(shù)的單調性比較函數(shù)的值的大小，屬于基礎題．