Question

2．利用直角三角形中的邊角關系證明：在任意△ABC中$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．

Answer 1

分析 分別在直角、銳角、鈍角三角形中，利用銳角的正弦函數(shù)進行證明．

解答 證明：在RT△ABC中，如圖所示：
C=90°，設AB=c、BC=a、AC=b，
∴sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{a}{c}$，sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{c}$，
則c=$\frac{a}{sinA}$，c=$\frac{sinB}$，
又∵sinC=1，c=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$；
在銳角△ABC中，如圖所示：
作CD⊥AB，垂足為D，設AB=c、BC=a、AC=b，
∴sinA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CD}$，sinB=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{CD}{a}$，
則CD=bsinA，CD=asinB，
∴bsinA=asinB，則$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
同理可證$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$在銳角△ABC中成立；
在鈍角△ABC中，如圖所示：
A為鈍角，延長BA、作CD⊥AB，垂足為D，
設AB=c、BC=a、AC=b，
在RT△ACD中，sin∠CAD=sin（π-A）=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CD}$，
則sinA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CD}$，
在RT△BCD中，sinB=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{CD}{a}$，
則CD=bsinA，CD=asinB，
∴bsinA=asinB，則$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
作BC邊上的高線可得，$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$在鈍角△ABC中成立；
綜上，在任意△ABC中$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$成立．

點評 本題考查正弦定理的證明，以及銳角的正弦函數(shù)的應用，考查從特殊到一般的證明方法．