Question

【題目】如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝A1D，AB＝BC，∠ABC＝120°.

（1）證明：AD⊥BA1；

（2）若平面ADD1A1⊥平面ABCD，且A1D＝AB，求直線BA1與平面A1B1CD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取AD中點(diǎn)O，連接OB，OA1，BD，推導(dǎo)出AD⊥OA1，△ABD是等邊三角形，從而AD⊥OB，進(jìn)而AD⊥平面A1OB，由此能證明AD⊥BA1.
（2）推導(dǎo)出OA、OA1、OB兩兩垂直，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以OA、OB、OA1所在射線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，利用向量法能求出直線BA1與平面A1B1CD所成角的正弦值.

證明：（1）取AD中點(diǎn)O，連接OB，OA1，BD，

∵AA1＝A1D，∴AD⊥OA1，

又∠ABC＝120°，AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形，

∴AD⊥OB，∴AD⊥平面A1OB，

∵A1B平面A1OB，∴AD⊥A1B.

（2）∵平面ADD1A1⊥平面ABCD，

平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，

又A1O⊥AD，∴A1O⊥平面ABCD，∴OA、OA1、OB兩兩垂直，

以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以OA、OB、OA1所在射線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，

設(shè)AB＝AD＝A1D＝2，則A（1，0，0），，，D（﹣1，0，0），.

則，，，

設(shè)平面A1B1CD的法向量

則，令，則y＝1，z＝﹣1，可取，

設(shè)直線BA1與平面A1B1CD所成角為θ，

則.

∴直線BA1與平面A1B1CD所成角的正弦值為.