已知函數(shù)f （x）=ax+數(shù)學公式-3ln x．
（1）當a=2時，求f （x） 的最小值；
（2）若f （x）在[1，e]上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

解：（1）當a=2時，f（x）=2x+-3lnx
f'（x）=2--=
令f'（x）=0得x=2或-（∵x＞0，舍去負值）
∴當a=2時，函數(shù)f（x）的最小值為5-3ln2．（6分）

（2）∵f'（x）=，
令h（x）=ax2-3x-a=a（x-）2-，
要使f（x）在[1，e]上為單調(diào)函數(shù)，
只需f'（x）在（1，e）內(nèi)滿足：f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立，且等號只在孤立點取得．
∵h（1）=-3＜0
∴h（e）=ae2-3e-a≤0
∴a≤
①當0≤a≤時，f'（x）≤0恒成立
②當a＜0時，x=∉[1，e]，
∴h（x）＜0（x∈[1，e]）
∴f'（x）＜0，符合題意．
綜上可知，當a≤時，f（x）在[1，e]上為單調(diào)函數(shù)．（14分）
分析：（1）當a=2時，f（x）=2x+-3lnx，求導得f'（x）=2--=，因為定義域為開區(qū)間，求得極值即為最值．
（2）先求f'（x）=，再由“f（x）在[1，e]上為單調(diào)函數(shù)”轉(zhuǎn)化為“f'（x）≥0或f'（x）≤0在[1，e]上恒成立”，最后轉(zhuǎn)化為最值法求解．
點評：本題主要考查用導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當函數(shù)為增函數(shù)時，導數(shù)大于等于零；當函數(shù)為減函數(shù)時，導數(shù)小于等于零，已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍往往轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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