Question

已知二項(xiàng)式(

x

+

a

x

)6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為

∫

π 6 0

5cos3tdt，則a=

±

1

3

．

Answer 1

分析：先計(jì)算定積分，再計(jì)算二項(xiàng)式(

x

+

a

x

)6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為

C

2 6

×a2，利用二項(xiàng)式(

x

+

a

x

)6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為

∫

π 6 0

5cos3tdt，建立方程，即可求得結(jié)論．

解答：解：

∫

π 6 0

5cos3tdt=

5

3

sin3t

|

π 6 0

=

5

3

二項(xiàng)式(

x

+

a

x

)6展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1

=C

r 6

(

x

)6-r×(

a

x

)r=

C

r 6

×ar×x3-

3r

2

令3-

3r

2

=0，則r=2，∴二項(xiàng)式(

x

+

a

x

)6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為

C

2 6

×a2
∵二項(xiàng)式(

x

+

a

x

)6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為

∫

π 6 0

5cos3tdt，
∴

C

2 6

×a2=

5

3

∴a=±

1

3

故答案為：±

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查定積分的計(jì)算，考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．