Question

13．已知函數(shù)f（x）=ksin（kx+$\frac{π}{6}$）（k∈N^*）的圖象過點(diǎn)（π，1）．
（1）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（π，1）．求出k的值，可得f（x）的解析式，即可求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1，先求出g（x）的解析式，化簡(jiǎn)，即可求出x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函數(shù)g（x）的值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ksin（kx+$\frac{π}{6}$）（k∈N^*）
∵f（x）圖象過點(diǎn)（π，1）．
可得：ksin（kπ+$\frac{π}{6}$）=1，
∵k∈N^*，
∴k=2時(shí)，可得2sin（2π+$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{π}{6}$=1成立，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$，
∴當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{6}$]．
（2）函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1，
即g（x）=$\frac{1}{2}$[2in（2x+$\frac{π}{6}$）]²-2sin（2x$+\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）-1．
化簡(jiǎn)可得：g（x）=2sin²（2x+$\frac{π}{6}$）-2cos（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
=2（1-cos²（2x+$\frac{π}{6}$）-2cos（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
=1-2cos²（2x+$\frac{π}{6}$）-2cos（2x+$\frac{π}{6}$）
令cos（2x+$\frac{π}{6}$）=t，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
∴cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[0，1]，即0≤t≤1．
那么g（x）轉(zhuǎn)化為函數(shù)m（t）=1-2t²-2t．0≤t≤1．
其對(duì)稱軸t=$-\frac{1}{2}$，開口向下，
函數(shù)m（t）在t∈[0，1]是單調(diào)遞增，
當(dāng)t=0時(shí)，取得最大值為1，
當(dāng)t=1時(shí)，取得最小值為-3，
∴函數(shù)m（t）的值域?yàn)閇-3，1]．
故得x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1的值域?yàn)閇-3，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化解能力和解析式的求法．換元的思想．二次函數(shù)求值域的運(yùn)用．屬于中檔題．