Question

3．以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t為參數(shù)，0＜α＜π）$，曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線A與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，已知定點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，0），當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時(shí)，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，即可求得曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時(shí)，求得直線l的參數(shù)方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及|PA|+|PB|=$|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}$，即可求得|PA|+|PB|的值．

解答 解：（1）由$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}得{ρ^2}{sin^2}θ=2ρcosθ$，
將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，整理得：y²=2x，
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=2x；…（5分）
（2）因?yàn)?α=\frac{π}{3}$，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，代入y²=2x，得3t²-4t-4=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則${t_1}+{t_2}=\frac{4}{3}$，${t_1}{t_2}=-\frac{4}{3}$
∴|PA|+|PB|=$|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}$=$\frac{8}{3}$，
|PA|+|PB|的值$\frac{8}{3}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的極坐標(biāo)方程，直線的參數(shù)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．