【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證:f(x2)≥( ﹣1)x2

【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞), f′(x)=2x+ = ,
令g(x)=2x2+2x+a,則△=4﹣8a,
①當(dāng)a≥ 時(shí),△≤0,g(x)≥0,從而f′(x)≥0,
故函數(shù)f(x)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞增;
②當(dāng)a< 時(shí),△>0,g(x)=0的兩個(gè)根為
x1= ,x2= ,
當(dāng)a≤0時(shí),x1≤﹣1<x2 , 此時(shí),當(dāng)x∈(﹣1, ),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈( ,+∞),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
當(dāng)0<a< 時(shí),﹣1<x1<x2 , 此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣1, ),( ,+∞)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈( , )函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
綜上:當(dāng)a≥ 時(shí),函數(shù)f(x)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)0<a< 時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣1, ),( ,+∞)單調(diào)遞增;
在區(qū)間( ),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)a≤0時(shí),x∈(﹣1, )函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
x∈( ,+∞)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增…(6分)
(Ⅱ)證明:當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),0<a< ,x2= ∈(﹣ ,0),
且g(x2)=2 +2x2+a=0,即a=﹣2 ﹣2x2 ,
f(x2)= +(﹣2 ﹣2x2)ln(x2+1),x2∈(﹣ ,0),
=x2﹣2(x2+1)ln(x2+1),x2∈(﹣ ,0),
令h(x)=x﹣2(x+1)ln(x+1),x∈(﹣ ,0),
h′(x)=﹣2ln(x+1)﹣1,令h′(x)>0,x∈(﹣ , ﹣1),函數(shù)單調(diào)遞增;
令h′(x)<0,x∈( ﹣1,0),函數(shù)單調(diào)遞減;
∴h(x)max=h( ﹣1)= ﹣1,∴ ﹣1,
∵x2∈(﹣ ,0),
∴f(x2)≥( ﹣1)x2
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)得到a=﹣2 ﹣2x2 , 根據(jù)f(x2)= +(﹣2 ﹣2x2)ln(x2+1),x2∈(﹣ ,0),得到 =x2﹣2(x2+1)ln(x2+1),x2∈(﹣ ,0),令h(x)=x﹣2(x+1)ln(x+1),x∈(﹣ ,0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h(x)的最大值,從而證明結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.

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(3)若數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列,cn=23n1(n∈N*),問(wèn):數(shù)列{cn}中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列{an}中的項(xiàng)?若是,請(qǐng)說(shuō)明理由,若不是,請(qǐng)舉出反例.

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