Question

【題目】已知橢圓的離心率e＝，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.

(1)求橢圓的方程；

(2)設直線過橢圓的左端點A，與橢圓的另一個交點為B.，AB的垂直平分線交軸于點，且·＝4，求的值．

Answer 1

【答案】(1) (2)y0＝±2或y0＝±.

【解析】試題分析：1）由離心率求得a和c的關系，進而根據(jù)c2=a2﹣b2求得a和b的關系，進而根據(jù)菱形的面積公式，求得a和b，則橢圓的方程可得．

（2）由（1）可求得A點的坐標，設出點B的坐標和直線l的斜率，表示出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，由韋達定理求得點B的橫坐標的表達式，進而利用直線方程求得其縱坐標表達式，表示出|AB|進而求得k，則直線的斜率可得．設線段AB的中點為M，當k=0時點B的坐標是（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，進而根據(jù)，求得y0；當k≠0時，可表示出線段AB的垂直平分線方程，令x=0得到y0的表達式根據(jù)，，求得y0．

試題解析：

(1)由e＝＝，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.

由題意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程組得a＝2，b＝1.

所以橢圓的方程為.

(2)由(1)可知A(－2,0)．設B點的坐標為，直線的斜率為，則直線的方程．于是A，B兩點的坐標滿足方程組

由方程組消去y并整理，得.

由，得.從而.

設線段AB的中點為M，則M的坐標為．

以下分兩種情況：

①當k＝0時，點B的坐標為(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，于是＝(－2，－y0)，

＝(2，－y0)．由·＝4，得y0＝±2.

②當k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為．

令x＝0，解得，

由＝(－2，－y0)， ＝(x1，y1－y0)．

·＝－2x1－y0(y1－y0)

＝，

整理得7k2＝2，故k＝±.所以y0＝±.綜上，y0＝±2或y0＝±.