Question

12．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{n}$=（sinx，-cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，若函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．
（1）當(dāng)x∈[0，π]時，求函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間．
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）+g（$\frac{π}{12}$+$\frac{A}{2}$）=-$\sqrt{3}$，b+c=7，bc=8，求邊a的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量乘積的運(yùn)算就出f（x）的解析式，利用函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱求出g（x）；當(dāng)x∈[0，π]時，在結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間．
（2）由f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）+g（$\frac{π}{12}$+$\frac{A}{2}$）=-$\sqrt{3}$，求解出A的大小，b+c=7，bc=8，利用余弦定理求邊a的長．

解答 解：（1）由題意：f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$=$\frac{1}{2}-sin（2x+\frac{π}{6}）$
∵函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱：
∴g（x）=$-sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$
當(dāng)x∈[0，π]時，則$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{11π}{6}]$，
∴函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間為[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]
（2）由f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）+g（$\frac{π}{12}$+$\frac{A}{2}$）=-$\sqrt{3}$，
即：-sin[2（$\frac{A}{2}-\frac{π}{12}$）$+\frac{π}{6}$]-sin[2（$\frac{π}{12}+\frac{A}{2}$）-$\frac{π}{6}$]=$-\sqrt{3}$
得：2sinA=$\sqrt{3}$
則：A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
又∵b+c=7，bc=8
∴b²+c²=（b+c）²-2bc=33
由余弦定理有：a²=b²+c²-2bccosA
解得：a=5或$\sqrt{41}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)綜合運(yùn)用能力和計算能力，余弦定理的運(yùn)用能力．屬于中檔題．