Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，證明方程f（x）=g（x）有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
（3）若x∈（1，e]時(shí)，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）m=2時(shí)，，求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），從而求出f'（1）得到切線(xiàn)的斜率，求出切點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式可求出切線(xiàn)方程；
（2）m=1時(shí)，令，求出h'（x），判定符號(hào)得到函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，然后判定的符號(hào)，根據(jù)根的存在性定理可得結(jié)論；
（3）恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，討論x²-1的符號(hào)將m分離出來(lái)，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式另一側(cè)的最值，從而求出m的取值范圍．
解答：解：（1）m=2時(shí)，，，
切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴切線(xiàn)方程為y=4x-4…（2分）
（2）m=1時(shí)，令，
，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．…（4分）
又，
∴y=h（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
∴在（0，+∞）內(nèi)f（x）=g（x）有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根     …（6分）
（或說(shuō)明h（1）=0也可以）
（3）恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，則當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，恒成立，
令，只需m小于G（x）的最小值，
，
∵1＜x≤e，∴l(xiāng)nx＞0，∴當(dāng)x∈（1，e]時(shí)G'（x）＜0，
∴G（x）在（1，e]上單調(diào)遞減，
∴G（x）在（1，e]的最小值為，
則m的取值范圍是．            …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，以及根的存在性和利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．