Question

2．已知sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，（-$\frac{π}{2}$＜x＜0），求$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}sin\frac{x}{2}+co{s}^{2}\frac{x}{2}}{sinx-cosx}$的值．

Answer 1

分析 將sinx+cosx=$\frac{1}{5}$兩邊平方后，利用平方關(guān)系化簡(jiǎn)求出sin2x，由x的范圍和條件求出sinx-cosx，利用二倍角公式、平方關(guān)系化簡(jiǎn)所求的式子，把數(shù)據(jù)代入求值即可．

解答 解：由題意得，sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，
兩邊平方得，sin2x=$-\frac{24}{25}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜x＜0，∴sinx-cosx=$-\sqrt{（sinx-cosx）^{2}}$
=$-\sqrt{1-sin2x}$=$-\frac{7}{5}$，
∴$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}sin\frac{x}{2}+co{s}^{2}\frac{x}{2}}{sinx-cosx}$=$\frac{1+2si{n}^{2}\frac{x}{2}-sinx}{sinx-cosx}$
=$\frac{2-cosx-sinx}{sinx-cosx}$=$\frac{2-\frac{1}{5}}{-\frac{7}{5}}$=$-\frac{9}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二倍角公式、平方關(guān)系的應(yīng)用，以及（sinx+cosx）、（sinx-cosx）與sin2x之間的關(guān)系，考查化簡(jiǎn)、變形能力，注意角的范圍．