已知點列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N) 順次為一次函數(shù)圖象上的點, 點列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)(n∈N) 順次為x軸正半軸上的點,其中x1=a(0<a<1), 對于任意n∈N,點An、Bn、An+1構(gòu)成以 Bn為頂點的等腰三角形.
⑴求{yn}的通項公式,且證明{yn}是等差數(shù)列;
⑵試判斷xn+2-xn是否為同一常數(shù)(不必證明),并求出數(shù)列{xn}的通項公式;
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若有,求出此時a值;若不存在, 請說明理由.
(1)(nÎN);(2)xn= 
(3)存在直角三形,此時a的值為、.
(I)因為(nÎN),易根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出{yn}為等差數(shù)列.
(II)解本小題的關(guān)鍵是先根據(jù)xn+1-xn=2為常數(shù),可確定的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列,從而求出.
(III) 要使AnBnAn+1為直角三形,則 |AnAn+1|=2=2()Þxn+1-xn=2(),
當n為奇數(shù)時,xn+1-xn=2(1-a);當n為偶數(shù)時,xn+1-xn=2a.然后分別研究即可.
(1)(nÎN),yn+1-yn=,∴{yn}為等差數(shù)列 (4¢)
(2)xn+1-xn=2為常數(shù) (6¢) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…,x2n都是公差為2的等差數(shù)列,
∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a,x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a,
∴xn= 
(3)要使AnBnAn+1為直角三形,則 |AnAn+1|=2=2()Þxn+1-xn=2()
當n為奇數(shù)時,xn+1=n+1-a,xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=(n為奇數(shù),0<a<1)  (*)
取n=1,得a=,取n=3,得a=,若n≥5,則(*)無解; (14¢)
當偶數(shù)時,xn+1=n+a,xn=n-a,∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()Þa=(n為偶數(shù),0<a<1)  (*¢),取n=2,得a=,
若n≥4,則(*¢)無解.
綜上可知,存在直角三形,此時a的值為、. (18¢)
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