Question

3．如圖，已知直線MA切圓O于點A，割線MCB交圓O于點C，B兩點，∠BMA的角平分線分別與AC，AB交于E，D兩點．
（1）證明：AE=AD；
（2）若AB=5，AE=2，求$\frac{MA}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用MD平分∠BMA，可得∠MAC+∠EMA=∠B+∠CME，利用切線的性質，可得∠MAC=∠B，可得∠AED=∠ADE，即可證明AE=AD；
（Ⅱ）利用切割線定理求出DB，即可求出$\frac{MA}{MC}$的值．

解答 證明：（Ⅰ）因為直線MA切圓O于點A，所以∠MAC=∠B，
因為MD平分∠BMA，
所以∠MAC+∠EMA=∠B+∠CME，
又因為∠AED=∠MAC+∠EMA，∠ADE=∠B+∠CME，
所以∠AED=∠ADE，所以AE=AD．
解：（Ⅱ）因為直線MA切圓O于點A，
所以由切割線定理得MA²=MC•MB，即$\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MA}$，
因為直線MA切圓O于點A，
所以∠B=∠MAC，
所以△MBD∽△MAE，得$\frac{MB}{MA}=\frac{BD}{AE}$，
又AB=5，AD=AE=2，
所以BD=AB-AD=3，
所以$\frac{MA}{MC}=\frac{BD}{AE}=\frac{3}{2}$，
所以$\frac{MA}{MC}=\frac{3}{2}$．

點評 本題考查圓的切線的性質，切割線定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．