已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|=
7
2
，
PF1
•
PF2
=
3
4
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)F1的直線L與該橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且|
F1M
|=2|
F1N
|，求直線L的方程．
（1）設(shè)P（x0，y0），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）．
則由|OP|=
7
2
，得x02+y02=
7
4
．
由
PF1
•
PF2
=
3
4
，得(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=
3
4
．
即x02+y02-c2=
3
4
，∴c=1．
又∵
c
a
=
2
2
，∴a2=2，b2=1．
因此所求橢圓的方程為：
x2
2
+y2=1；
（2）設(shè)直線L的方程為y=k（x+1），
聯(lián)立
x2
2
+y2=1
y=k(x+1)
，得（1+2k2）x2+4k2x+2（k2-1）=0．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
∴x1+x2=-
4k2
2k2+1
，x1x2=
2(k2-1)
2k2+1
．
∵y1=-2y2，
∴
-y2=y1+y2=k(x1+x2+2)=
2k
2k2+1
-2y22=y1y2=k2(x1x2+x1+x2+1)=-
k2
2k2+1
，解得：k=±
14
2
．
∴直線L的方程為y=±
14
2
(x+1)．
即
14
x-2y+
14
=0或
14
x+2y+
14
=0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)F內(nèi)分成了3：1的兩段．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過(guò)點(diǎn)C（-1，0）的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，且
AC
=2
CB
，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求直線l和橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），點(diǎn)Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足|
F1Q
|=2a，點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)
（1）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
a
2
，證明：|
F1P
|=a+
c
2

（2）若存在點(diǎn)Q，使得△F1QF2的面積等于b2，求橢圓離心率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的上下焦點(diǎn)，其F1是拋物線C2：x2=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
3
5
．
（1）試求橢圓C1的方程；
（2）與圓x2+（y+1）2=1相切的直線l：y=k（x+t）（t≠0）交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)P滿足
OA
+
OB
=λ
OP
，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：|OR|•|OS|為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（200個(gè)•陜西）已知橢圓C：
x2
個(gè)2
+
y2
b2
=1（個(gè)＞b＞0）的離心率為
左
3
，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于個(gè)、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為
3
2
，求△個(gè)OB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知拋物線方程y2=4x，過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線有（　　）
A．0條B．1條C．2條D．3條

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，過(guò)橢圓G右焦點(diǎn)F的直線m：x=1與橢圓G交于點(diǎn)M（點(diǎn)M在第一象限）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）已知A為橢圓G的左頂點(diǎn)，平行于AM的直線l與橢圓相交于B，C兩點(diǎn)．判斷直線MB，MC是否關(guān)于直線m對(duì)稱，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

如圖，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，要使BC邊上至少存在一點(diǎn)P，使△PBA，△APD，△CDP兩兩相似，則a，b間的關(guān)系一定滿足(　　)
A．a(chǎn)≥bB．a(chǎn)≥bC．a(chǎn)≥bD．a(chǎn)≥2b

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