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記函數f(x)的定義域為D，若存在x0∈D，使得f(x)＝x成立，則稱(x0，x0)為函數f(x)圖象上的“穩(wěn)定點”．

(1)是否存在實數a，使函數f(x)＝的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點？若存在，求出范圍；若不存在，請說明理由．

(2)若函數f(x)是定義在R上的奇函數，求證：函數必有奇數個穩(wěn)定點．

答案：
解析：

　　(1)解：設函數f(x)＝的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點，

　　則f(x)＝＝x，

　　即有兩個相異的根，

　　所以

　　解之，得a＞5或a＜1，a≠－．

　　因此存在a∈(－∞，－)∪(－，1)∪(5，＋∞)使得函數f(x)＝的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點;

　　(2)證明：因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，

　　所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0．

　　因此(0，0)是f(x)的一個穩(wěn)定點．

　　假設函數還有穩(wěn)定點(x0，x0)，

　　即f(x0)＝x0，則必定有f(－x0)＝－x0．

　　這說明(－x0，－x0)也是函數的穩(wěn)定點．

　　綜上所述，奇函數的穩(wěn)定點除原點外，都是成對出現，因此其穩(wěn)定點的個數是奇數．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2010年江蘇省高一第一學期期中考試數學卷 題型：解答題

（滿分16分）

記函數f(x)的定義域為D，若存在，使成立，則稱以為坐標的點為函數圖象上的不動點。

（1）若函數的圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求應滿足的條件；

（2）下述結論“若定義在Ｒ上的奇函數f(x)的圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉出一反例說明

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

記函數f(x)的定義域為D，若存在x0∈D，使得f(x)=x成立，則稱(x0，x0)為函數f(x)圖象上的“穩(wěn)定點”.

(1)是否存在實數a，使函數f(x)= 的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點?若存在，求出范圍；若不存在，請說明理由.

(2)若函數f(x)是定義在R上的奇函數，求證:函數必有奇數個穩(wěn)定點.

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科目：高中數學 來源： 題型：

（滿分16分）記函數f(x)的定義域為D，若存在，使成立，則稱以為坐標的點為函數圖象上的不動點。

（1）若函數的圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求應滿足的條件；

（2）下述結論“若定義在Ｒ上的奇函數f(x)的圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉出一反例說明。

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科目：高中數學 來源： 題型：

（滿分16分）記函數f(x)的定義域為D，若存在，使成立，則稱以為坐標的點為函數圖象上的不動點。

（1）若函數的圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求應滿足的條件；

（2）下述結論“若定義在Ｒ上的奇函數f(x)的圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉出一反例說明。

（請將解答寫在規(guī)定的區(qū)域，寫在其它區(qū)域的不得分。）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（滿分16分）記函數f(x)的定義域為D，若存在，使成立，則稱以為坐標的點為函數圖象上的不動點。

（1）若函數的圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求應滿足的條件；

（2）下述結論“若定義在Ｒ上的奇函數f(x)的圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉出一反例說明。

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