Question

17．求正整數n與實數a，使得f（x）=asinx+cos2x在（0，nπ）上恰有2013個零點．

Answer 1

分析 運用二倍角的余弦公式，結合正弦函數的圖象，由y=sinx在（0，nπ）的圖象特點可得若h（t）=0的兩根均小于1，則零點個數必為偶數個，由題意可得兩根中必有一個為1或-1，分別討論兩根的情況，即可得到a和n，滿足條件．

解答 解：f（x）=asinx+cos2x=asinx+1-2sin²x，
令sinx=t，h（t）=at+1-2t²，
由y=sinx在（0，nπ）的圖象特點可得若h（t）=0的兩根均小于1，
則零點個數必為偶數個，則有兩根中必有一個為1或-1，
若有一個根為1，則a=1，另一個根為-$\frac{1}{2}$，由于一個周期內有3個零點，
則n=2×671=1342，恰有2013個零點；
若有一個根為-1，則a=-1，另一個根為$\frac{1}{2}$，由于一個周期內有3個零點，
則k=2×671=1342，恰有2014個零點．
綜上可得，實數a=1，正整數n=1342，使得f（x）在（0，nπ）內恰有2013個零點．

點評 此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，以及函數恒成立問題，同時考查正弦函數的圖象和性質，熟練掌握公式和正弦函數的圖象是解本題的關鍵．