Question

9．已知F₁、F₂為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則|MF₁|•|MF₂|的最大值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由橢圓的方程分析可得a=2，又由橢圓的定義可得|MF₁|+|MF₂|=2a=4，由基本不等式的性質(zhì)可得|MF₁|•|MF₂|≤（$\frac{|M{F}_{1}|+|M{F}_{2}|}{2}$）²，計(jì)算即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，其中a=$\sqrt{4}$=2，
M為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上動(dòng)點(diǎn)，則有|MF₁|+|MF₂|=2a=4，
則|MF₁|•|MF₂|≤（$\frac{|M{F}_{1}|+|M{F}_{2}|}{2}$）²=4，
即|MF₁|•|MF₂|的最大值為4，
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及基本不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是充分利用橢圓的定義分析．