Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-4+t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ．直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（-2，-4），求點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （1）由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)，得l的普通方程，由此能求出直線l的極坐標(biāo)方程，由曲線C的極坐標(biāo)方程，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）求出直線l的參數(shù)方程，并代入y²=2x，得${T^2}-10\sqrt{2}T+40=0$，由此能求出|PA|•|PB|的值．

解答 解：（1）由直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-4+t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)和，得l的普通方程為x-y-2=0．
∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ-2=0．
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=2x．
（2）∵直線l：x-y-2=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2，-4），
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}T}\\{y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}T}\end{array}}\right.$（T為參數(shù)）．
將直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}T}\\{y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}T}\end{array}}\right.$代入y²=2x，
化簡(jiǎn)得${T^2}-10\sqrt{2}T+40=0$，
∴|PA|•|PB|=|T₁T₂|=40．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的極坐標(biāo)方程和曲線直角坐標(biāo)方程的求法，考查兩線段積的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．