【題目】已知橢圓： ，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為， ，直線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦， ，設(shè)， 的中點(diǎn)分別為， ，證明：直線必過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)．

【答案】（1）（2）直線過(guò)點(diǎn)．

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)直線與圓相切求切線方程，再根據(jù)橢圓幾何條件確定， ，（2）直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般先利用特殊情況確定定點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為證三點(diǎn)共線：先聯(lián)立直線： ，與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求中點(diǎn)（用直線AB斜率表示），同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)斜率公式證三點(diǎn)共線.

試題解析：（Ⅰ）由切點(diǎn)弦方程知切線方程為，令，則，所以上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以，令，則，

所以右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）若直線， 斜率均存在，設(shè)直線： ， ， ，

則中點(diǎn)．先考慮的情形．　

由得，

由直線過(guò)點(diǎn)，可知判別式恒成立，

由韋達(dá)定理，得，故，同理可得.

若，得，則直線斜率不存在，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)．

另當(dāng)斜率為0時(shí)，直線也過(guò)點(diǎn)．

下證動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，

， ，

∴，即直線過(guò)點(diǎn)．

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(2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{ }為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

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【題目】自2016年下半年起六安市區(qū)商品房?jī)r(jià)不斷上漲，為了調(diào)查研究六安城區(qū)居民對(duì)六安商品房?jī)r(jià)格承受情況，寒假期間小明在六安市區(qū)不同小區(qū)分別對(duì)50戶居民家庭進(jìn)行了抽查，并統(tǒng)計(jì)出這50戶家庭對(duì)商品房的承受價(jià)格（單位：元/平方），將收集的數(shù)據(jù)分成， ， ， ， 五組（單位：元/平方），并作出頻率分布直方圖如圖：

（Ⅰ）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)出這50戶家庭對(duì)商品房的承受價(jià)格平均值（單位：元/平方）；

（Ⅱ）為了作進(jìn)一步調(diào)查研究，小明準(zhǔn)備從承受能力超過(guò)4000元/平方的居民中隨機(jī)抽出2戶進(jìn)行再調(diào)查，設(shè)抽出承受能力超過(guò)8000元/平方的居民為戶，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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（1）求證： ；

（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（包括兩端點(diǎn)），若平面與平面所成的銳二面角為60°，試確定點(diǎn)的位置．

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（Ⅰ）求圓的方程．

（Ⅱ）是否存在直線與圓相切，且在軸、軸上的截距相等？若存在，寫(xiě)出滿足條件的直線條數(shù)（不要求過(guò)程）；若不存在，說(shuō)明理由．

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