Question

12．已知函數(shù)f（x）=x-lnx+h在區(qū)間$[{\frac{1}{e}，{e^2}}]$上任取三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)h的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，e²）
• B． （-∞，e²-4）
• C． （e²，+∞）
• D． （e²-4，+∞）

Answer 1

分析 任取三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長(zhǎng)的三角形，等價(jià)于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，從而2f（x）_min＞f（x）_max且f（x）_max＞0，由此能求出實(shí)數(shù)h的取值范圍．

解答 解：任取三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長(zhǎng)的三角形，
等價(jià)于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，
∴2f（x）_min＞f（x）_max且f（x）_max＞0，
令${f}^{'}（x）=-\frac{1}{x}+1=0$，解得x=1，
當(dāng)$\frac{1}{e}＜x＜1$時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=f（1）=1+h，
f（x）_max=max{f（$\frac{1}{e}$），f（e²）}=max{$\frac{1}{e}+1+h$，e²-2+h}，
從而得到$\left\{\begin{array}{l}{2（1+h）＞{e}^{2}-2+h}\\{1+h＞0}\end{array}\right.$，
解得h＞e²-4．
∴實(shí)數(shù)h的取值范圍是（e²-4，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．