【題目】已知橢圓,離心率為,兩焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn),且的周長(zhǎng)為8.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
試題分析:(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,一般利用待定系數(shù)法,即根據(jù)條件列兩個(gè)獨(dú)立方程:一是離心率,二是橢圓定義:的周長(zhǎng)為,解方程組得,(2)涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題,一般利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng):設(shè)切線的方程為,則,再根據(jù)直線與圓相切得,即,代入化簡(jiǎn)得,最后利用基本不等式求最值
試題解析:(1)由題得:,........................1分
,...............................3分
所以.........................4分
又,所以,........................5分
即橢圓的方程為....................6分
(2)由題意知,,設(shè)切線的方程為,
由,得...............7分
設(shè),
則.....................8分
,
由過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切得,即,
所以....11分
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,所以的最大值為2...................12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),求證:對(duì)任意的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若曲線與有三個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一種飲料每箱裝有6聽(tīng),經(jīng)檢測(cè),某箱中每聽(tīng)的容量(單位:ml)如以下莖葉圖所示.
(Ⅰ)求這箱飲料的平均容量和容量的中位數(shù);
(Ⅱ)如果從這箱飲料中隨機(jī)取出2聽(tīng)飲用,求取到的2聽(tīng)飲料中至少有1聽(tīng)的容量為250ml的概率
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程和函數(shù)的極值:
(2)若對(duì)任意,都有成立,求實(shí)數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)若且恒成立,求的最大值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,且取得最大值時(shí),設(shè),且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1) 時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且圓的圓心到的距離為.
(1)求直線被該圓所截得的弦長(zhǎng);
(2)求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的直三棱柱中,,分別是,的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正切值.
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