Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若曲線與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：(Ⅰ)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，然后求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，討論零點(diǎn)所分區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，以此來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)為正的區(qū)間是對(duì)應(yīng)函數(shù)的遞增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)為負(fù)的區(qū)間是對(duì)應(yīng)函數(shù)的遞減區(qū)間；(Ⅱ)先化簡(jiǎn)得到，然后構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)與有三個(gè)公共點(diǎn)”.由數(shù)形結(jié)合的思想可知，當(dāng)在函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之間時(shí)，函數(shù)與有三個(gè)公共點(diǎn)，那么只要利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)找到此函數(shù)的兩個(gè)極值即可.

試題解析：(Ⅰ) 2分

令，解得或. 4分

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為6分

（Ⅱ）令，即

∴

設(shè)，即考察函數(shù)與何時(shí)有三個(gè)公共點(diǎn) 8分

令，解得或.

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 9分

10分

根據(jù)圖象可得. 12分